Chap4. 파동과 입자
1. 파동의 성질
(1) 파동의 발생과 전파
- 진동 : 물체가 한 점을 중심으로 흔들리는 것, 한 순간에 존재할 수 없고 좌우 또는 앞뒤로 움직이는 시간 필요
- 파동 : 진동 상태가 물질(매질)을 따라 퍼져나가는 것
- 파원 : 파동이 처음 발생한 부분
- 물결파에서 파동이 전파되어 나갈 때 매질의 각 부분은 제자리에서 아래위로 진동하면서 에너지를 인접 부분으로 전달할 뿐이지, 매질이 파동과 함께 이동하지 않는다.
- 횡파 : 파동의 진행 방향과 매질의 진동 방향이 수직인 파동, 매질의 위치가 높아졌다 낮아졌다 함 (고저파)
- 종파 : 파동의 진행 방향과 매딜의 진동 방향이 나란한 파동, 매질의 간격이 빽빽한 부분과 성긴 부분이 생김 (소밀파)
- 파동은 한 장소에만 존재할 수 없고 한 장소에서 다른 장소로 퍼져나간다. 빛과 소리의 본질은 에너지로서 파동의 형태로 공간을 통해서 이동
- 파면 : 파동에서 매질의 위치와 상태(위상)가 같은 부분끼리 연결해서 그린 선이나 면
- 평면파 : 파면이 직선으로 나란하게 진행되는 파동
- 구면파 : 파면이 파원을 중심으로 동심원 모양으로 퍼져나가는 파동
(2) 파동의 기본 요소
- 일반적으로 사인 곡선 형태의 사인파
- 마루 : 변위가 가장 높은 곳
- 파장 : 이웃한 마루와 마루, 혹은 골과 골 사이의 거리
- 진폭 : 매질의 최대 변위 → 마루의 높이나 골의 깊이
- 위상이 같다 : 같은 시작에 진동 상태가 같은 점
- 주기[s] : 매질의 각 점이 1회 진동하는데 걸리는 시간, 마루 한 개가 지나가고 다음 마루가 같은 위치에 오는 데 걸리는 시간, 파동이 한 파장만큼 진행하는 데 걸리는 시간
- 진동수[Hz] : 매질의 한 점이 1초동안 진동하는 횟수
\[ 주기 = \frac{1}{진동수},\qquad T=\frac{1}{f} \]
- 파동이 전파되는. 속력은 단위 시간 동안에 한 개의 마루 또는 골이 이동하는 거리. 파동은 한 주기 T동안에 한 파장 λ 만큼 이동하는 셈
\[ 파동의\ 속력=\frac{파장}{주기}=진동수\times파장,\qquad v=\frac{λ}{T}=f\lambda \]
(3) 파동의 반사와 굴절
1) 파동의 반사
- 파동의 반사 : 파동이 한 매질에서 진행하다가 장애물을 만나거나 성질이 다른 매질은 만나서 다시 처음으로 되돌아 나오는 현상
- 입사파 : 반사판이나 매질의 경계면을 향해 입사하는 파동
- 반사파 : 반사판이나 매질의 경계면에서 반사되어 나오는 파동
- 파동의 반사의 법칙 : 파동이 매질의 경계면에 입사할 때 입사각과 반사각은 서로 같다
- 파동의 끝의 상태에 따라 반사파의 모양이 달라짐
- 펄스가 장애물을 만나면 반사되어 진행방향과 반대방향으로 되돌아옴 → 고정단에서 입사파와 반사파가 만나면 진폭이 0이 되어야 하기 때문 → 고정단 반사시 위상이 \(\pi\)(180도) 만큼 변함
- 펄스가 자유단에서 반사될 경우, 자유단에서 고리를 그 진폭만큼 위로 올려 보내거나(아래로 내려 보내며) 고리는 반작용으로 다시 줄을 아래로 밀기(위로 밀기) 때문 → 자유단 반사시 위상이 변하지 않으므로 반사파의 파형은 입사파와 같고 진행 방향만 반대가 된다.
- 호이겐스의 원리와 반사의 법칙 : 파원 위의 모든 점들은 다음 순간의 파동을 만드는 점파원이 되어 새로운 구면파를 발생시킨다. 이렇게 무수히 많은 구면파의 파면에 공통적으로 접하는 선이나 면이 새로운 파면이 되며, 파면위의 모든 점들은 다시 새로운 점파원이 된다.
2) 파동의 굴절
스넬의 법칙 : 파동이 매질의 경계면에서 굴절할 때 입사각과 반사각의 사인값의 비는 일정하다 ⇒ \( \frac{\sin i}{\sin r}=n_{12}(일정) \)
\(n_{12}\): 매질 1에 대한 매질 2의 굴절률
- 호이겐스 원리와 굴절의 법칙 : \(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}={λ_1}{λ2}=n{12}\)
(4) 파동의 간섭과 회절
1) 파동의 간섭
- 파동의 중첩 : 두 개 이상의 파동이 만나서 새로운 모양을 만들어내는 현상 → 파동의 중첩성
- 파동의 독립성 : 두 개의 파동의 겹칠 때 서로 다른 파동에 아무런 영향을 주지 않고 본래의 모습을 그대로 유지하면서 진행
- 중첩의 원리 : 두 개의 파동이 겹칠 때, 각 순간의 파동의 변위는 각 파동의 변위의 합과 같다 → 합성파
- 파동의 간섭 : 두 개 이상의 주기적인 파동이 서로 중첩되어 진폭이 변하는 것
- 보강 간섭 : 파동의 마루와 마루, 또는 골과 골이 만나서 중첩될 때 진폭이 더 커지는 경우
- 상쇄 간섭 : 마루와 골이 만나서 중첩될 때 진폭이 작아지는 경우 → 진폭이 서로 다른 방향이라 상쇄됨
- 물결파의 간섭 : 마루와 마루가 만난 부분은 보강 간섭이 되어 볼록 렌즈의 역할을 하고, 골과 골이 만난 곳도 보강 간섭이 되어 오목 렌즈의 역할을 함
- 정상파 : 파동이 진행하지 않고 마치 정지해있는 것 처럼 보이는 상태
- 마디 : 진폭이 0인 정지해있는 부분
- 배 : 정상파에서 진폭이 가장 큰 부분
- 기본 진동 : 파장이 가장 긴 정상파
- 배진동 : 줄을 강하게 튕기면 중간에 마디가 생김
2) 파동의 회절
파동의 회절 : 파동이 진행하다가 장애물을 만났을 때 장애물 뒤까지 도달하도록 휘어지는 현상
장애물 틈의 폭이 물결파의 파장에 비해 넓으면 회절이 잘 일어나지 않고, 틈의 폭이 좁을수록 회절이 잘 일어난다.
- 파장과 틈의 폭이 비슷할 때에는 틈을 통과한 파동은 거의 구면파와 같게 회절하며, 이때의 틈은 거의 점파원과 같은 역할을 함
2. 빛의 성질
(1) 빛의 반사와 굴절
1) 빛의 반사
- 빛의 반사 : 빛이 매질의 경계면에서 처음 매질로 되돌아가는 현상
- 반사의 법칙 : 빛이 반사할 때는 입사 광선이 반사면에 수직하게 세운 법선과 이루는 각 i는 반사 광선과 법선이 이루는 각 i'와 같습니다. → 반사면이 평면이 아니더라도 엄밀하게 성립한다.
- 상 : 거울 속의 물체
- 난반사 : 방향이 제각각인 반사
- 정반사 : 유리나 금속과 같이 매끄러운 표면에서 일정한 방향성을 가지고 반사
- 구면 거울에 의한 반사 → 오목 거울, 볼록 거울
- 거울축 : 구심과 초점 & 구면 거울의 중심을 지나는 축
- 초점 : 구심에서 거울까지 거리의 절반이 되는 지점, 오목 거울의 축에 나란히 입사하는 광선이 반사 후 항상 한 점에 모임
- 볼록 거울 : 실제 빛이 모이지 않는 초점 → 허초점, 항상 물체보다 작은 정립 허상이 거울 뒤쪽에 생김, 항상 실물보다 작은 정립 허상을 맺기 때문에 실제보다 넓은 범위를 볼 수 있다.
- 오목 거울 : 물체가 거울 쪽으로 다가갈수록 상이 점점 커지며, 물체를 초점을 지나 더 가까이 다가가면 거울 뒤쪽에 실물보다 큰 정립 허상이 생김
2) 빛의 굴절
빛의 굴절 : 진행 도중 다른 매질을 만나면 경계면에서 일부는 반사하고 일부는 진행 방향이 바뀌어 다른 매질로 진행됨
스넬의 법칙 \(\frac{\sin i}{\sin r}=n_{12}(Const)\)
- \(n_{12}\): 상대 굴절률 / 절대 굴절률 : 진공에 대한 물질의 굴절률
\(n_{12}=\frac{v_1}{v_2}\)
빛이 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 입사할 떄는 굴절각이 입사각 보다 작지만, 굴절률이 큰 물질에서 작은 물질로 입사할 때에는 굴절각이 입사각보다 커짐
\(n=\frac{\sin 90^o}{\sin i_c},\quad i_c=\frac{1}{n}\)
렌즈에 의한 빛의 굴절
- 평행 광선들을 모아 하나의 형상을 만들 수 있음
- 렌즈는 중앙 부분이 양 끝 부분보다 두꺼우며, 렌즈 축에 나란하게 입사한 광선들을 굴절시켜 한 점(초점)에 수렴시킴
- 볼록 렌즈는 물체가 초점 밖 먼 곳에 있으면 물체와 반대쪽에 물체보다 작은 도립실상에 생기고, 물체가 초점에 가까워지면 상의 크기가 점점 커진다. 멀리 해보면 상이 거꾸로 되어 작게 보일 수 있음
- 오목 렌즈는 중앙 부분이 얇고 렌즈 축에 나란하게 입사한 광선들을 굴절시켜 발산시킴. 항상 물체보다 작은 정립 허상이 생긴다. 상이 뒤집히지 않음
1. 렌즈의 축에 나란하게 입사하는 광선은 렌즈를 통과한 후에 반대편 초점을 지난다
2. 렌즈의 중심을 지나는 광선은 직진한다
3. 렌즈 앞에 있는 초점을 통과하는 광선은 렌즈를 통과한 후에 렌즈 축에 나란하게 나간다
3) 빛의 분산
- 빛의 분산 : 빛을 프리즘에 입사시켜 분산 되는 현상, 여러 색깔의 띠인 스펙트럼으로 보임 → 색깔에 따라 빛의 파장이 다르고, 파장에 따라 굴절률이 다르기 때문
- 굴절률은 파장이 긴 빨간색에서 파장이 짧은 보라색으로 갈수록 커진다. 보라색으로 갈수록 더 많이 꺾인다.
(2) 빛의 간섭과 회절
1) 빛의 간섭
- 파동에서 나타나는 간섭 현상이 빛에서도 나타난다.
2) 빛의 회절
- 회절 : 반사나 굴절 외에 파동이 휘어지는 현상
- 빛의 회절은 물결파의 회절에서와 같이 슬릿의 폭이 좁을수록, 파장이 긴 빛일 수록 잘 일어남
3) 빛의 편광
→ 빛이 편광판에 의해 편광되었으므로 빛은 횡파
3. 빛과 물질의 이중성
(1) 빛의 이중성
- 빛의 간섭과 회절은 빛의 파동설을 입증해주었으나, 빛이 입자와 같이 에너지를 주고 받는다고 해야 설명되는 현상들이 원자세계에서 발견됨
1) 광전효과
광전효과 : 금속 표면에 자외선과 같이 파장이 짧은(진동수가 큰) 빛을 비추면 금속 표면에서 전자가 방출됨 → 광전자 방출
전자는 평소에 금속 표면 밖으로 나올 수 없음, 표면 밖으로 나오기 위해서는 전자에게 속박하고 있는 것을 이겨낼 수 있는 에너지를 주어야 비로소 속박에서 벗어날 수 있다.
⇒ 일함수 : 빛 에너지가 금속에 속박되어 있는 전자에게 전달, 금속에 따라 다른 값 가짐
1. 광전자를 방출시키려면 금속 표면에 비춰주는 빛의 진동수가 특정한 진동수 f보다 커야 한다. 이 때의 진동수를 한계 진동수라고 하며, 이 값은 금속 종류에 따라 다르다
2. 한계 진동수 이하의 진동수를 가진 빛은 아무리 강하게 오랫동 비춰도 광전자가 방출되지 않는다. 그러나 한계 진동수보다 큰 진동수를 가진 빛은 그 세기에 관계없이 빛을 비추는 즉시 광전자가 방출된다.
3. 광전류의 세기, 즉 금속 표면에서 방출되는 광전자의 수는 비춰주는 빛의 세기에 비례한다. 진동수와는 관계가 없다.
- 빛이 파동이라면 진동수가 작아도 그 빛의 세기를 강하게 하거나 오랫동안 비추면 금속 내의 전자는 충분한 에너지를 얻게 되므로 금속 표면 밖으로 튀어나올 수 있어야 함. 그러나 한계 진동수 이하의 빛으로는 광전자를 결코 방출시킬 수 없다. 한계 진동수가 물질의 종류에 따라 다르다는 것은 파동 이론만으로는 설명되지 않는다.
2) 빛의 이중성
양가 가설 : 복사에너지는 연속적인 값을 갖지 않고 작은 에너지 뭉치인 에너지 양자라는 불연속적인 값을 가진다.
광양자설 : 빛은 연속적인 파동의 흐름이 아니라 불연속적인 에너지 양자(광양자, 광자)의 흐름이다. \(E=hf\)
- h : 플랑크 상수 \(6.625\times 10^{-34}J\cdot s\)
→ 진동수가 f인 빛이 가질 수 있는 에너지는 hf의 정수배에 해당하는 값 ⇒ 불연속
광자가 물질과 상호작용을 할 때 입자처럼 행동하며, 전자와 충돌할 때 가지고 있던 에너지 hf를 전자에게 주기 때문에 전자가 금속 표면으로부터 튀어나오게 되는 것
진동수가 f인 빛을 금속 표면에 비추면 hf의 에너지를 가진 광자가 금속 내의 전자 한 개와 충돌하여 전자에게 에너지를 넘겨주게 되는데, 광자의 에너지가 금속의 일함수보다 크거나 같은 경우 \(hf\geq W\)에는 금속 표면에서 광전자가 방출됨
방출되는 광전자의 운동 에너지를 \(\frac{1}{2}mv^2\)라 하고 일함수를 W라고 하면
\[ \frac{1}{2} mv^2=hf-W \]
→ \(hf>W\): 금속 표면에 빛을 비추는 즉시 광전자가 튀어나옴, 남은 에너지는 광전자의 운동에너지가 되면 그 값은 \(\frac{1}{2}mv^2\)
→ \(hf=W\): 광전자가 방출될 수 있는 한계, 한계 진동수 \(f_0=\frac{W}{h}\)
→ \(hf<W\): 광자의 에너지가 일함수보다 작은 경우 \(\frac{1}{2}mv^2<0), 광전자가 방출되지 않음
(2) 물질의 이중성
1) 물질파
- 드브로이 파장 : 물질 입자가 파동성을 나타낼 때 \(λ=\frac{h}{mv})
- 일반적으로 빛이 파동성을 나타내는 현상에는 입자성이 나타나지 않고 입자성을 나타내는 현상에는 파동성이 나타나지 않는 것 처럼, 물질 입자에서도 입자성과 파동성이 동시에 나타나는 현상은 관측되지 않음
2) 물질의 이중성
- 거시적인 물리현상에서는 플랑크 상수는 무시 & 물질 입자는 입자의 성질만을 나타내고 파동은 파동의 성질만 나타냄
- 원자 세계에서 아주 작은 에너지를 교환할 때 플랑크 상수를 무시할 수 없으며, 전자와 같이 작은 입자들은 입자성과 파동성을 모두 가지고 있다.
- 물질의 운동량이 커서 물질파의 파장이 짧아질수록 입자성이 더 현저하게 나타나고, 반대로 물질의 운동량이 작아서 물질파의 파장이 길어질수록 파동성이 현저하게 나타남